5. PERĖJIMAS NUO SISTEMOS PRIE MODELIO

Sistemos dalys

Sistemų kitimas (dinamika)

Sistemos struktūra: talpos ir srautai

Sistemos elgsenos imitavimas

 


SISTEMOS DALYS VIRŠUS
   

Kodėl lego yra vos ne pats mėgiamiausias vaikų žaidimas? Šį klausimą uždavė filosofijos mokytojas J.Gaarderio knygoje "Sofijos pasaulis".

Jeigu jums kada nors buvo patekęs į rankas lego kaladėlių rinkinys, tai jūs puikiai žinote, kaip iš jų nesunkiai galima sudėlioti namą, laivą ar automobilį. Tada juos galima išardyti ir po to vėl sukonstruoti ką nors visiškai naujo. Taigi lego kaladėlės yra įvairiausių “padarų” statybiniai blokai. Namo, laivo ar automobilio forma priklauso ne tik nuo to, kokios lego kaladėlės yra panaudotos, bet ir nuo to, kaip jos yra tarpusavyje sujungtos. Tai įvyksta po to, kai kaladėlės yra paimamos iš dėžutės ir suorganizuojamos į namo, laivo ar automobilio formą ir tuo būdu tampa kažkokio realaus objekto modeliu.

Galima teigti, kad lego kaladėlės turi tas pačias savybes, kaip ir gamtoje sutinkami statybiniai blokai - iš jų galima sudaryti sudėtingesnius objektus. Fizikai mums gali pasakyti, kad bet kas gamtoje gali būti suskaidytas į atomus, panašiai kaip iš lego kaladėlių pastatytas namas gali būti suardytas į atskiras kaladėles. Atomai yra sudaryti iš dar mažesnių dalelių, tokių kaip protonai, neutronai, elektronai. Iš kitos pusės, atomai gali jungti į didesnius darinius - molekules; molekulės sudaro įvairių rūšių medžiagas, kurios savo ruožtu yra ląstelių sudedamosios dalys. Visi augalai ir gyvūnai yra sudaryti iš daugybės ląstelių. Toliau galėtume tęsti ir pateikti daugybę panšių pavyzdžių. Jei jums teko rašyti adresą, prisimenate, kaip nurodėte savo miestą, valstybę, žemyną, planetą, planetų sistemą, galaktiką ir t.t. Kiekviename lygyje, pradedant atomo elementarių dalelių ir baigiant galaktikos žvaigždėmis mes matome, kad didesnę sistemą sudaro mažesnės dalys. Bendrai paėmus, sistemos, kurios yra kitų sistemų sudedamosios dalys, vadinamos posistemėmis.

Visose sistemose sąryšiai tarp jos elementų apibrėžia sistemos kaip vienumos funkcionavimą. Todėl sąryšiai sistemoje dažnai yra žymiai svarbesni už jos elementus. Pavyzdžiui, tiek orkestras, tiek ir šeima sudaryta iš tų pačių elementų - žmonių. Tačiau tam, kad orkestras grotų, žmonės turi mokėti naudotis tam tikrais instrumentais (gitara, pianinu, smuiku) pagal tam tikrus reikalavimus (ritmo, kompozicijos). Jei tie patys žmonės sudaro šeimą, jie turi atlikti šeimoje visiškai kitokį vaidmenį (tėvo, motinos, dukros, sūnaus), ir santykiai tarp žmonių yra visiškai kitokie (tėvai nusprendžia, ką vaikai gali ir ko negali daryti). Būtų visiškai nesuprantama, jei kas nors pasakytų, jog šeimą sudaro tėvas, motina, dukra ir būgnininkas.

 
   

 

5.1 užduotis

1. Pateikite sistemos sąvokos apibrėžimą.
2.
Kaip vadinama sistema, kuri yra didesnės sistemos dalis?
3. Parašykite penkias sistemas, kurių dalimi jūs esate.

4. Kokios yra jūsų funkcijos (vaidmuo) kiekvienoje iš šių sistemų?

5. Kas įtakoja šių sistemų vystymąsi?

 

 

SISTEMŲ KITIMAS (DINAMIKA)  
   

Kaip jau minėjome anksčiau, sistema, kuri nesikeičia, yra vadinama statine sistema. Daugelis sistemų, kurioms ir mes priklausome, yra dinaminės, t.y. besikeičiančios laike. Pavyzdžiui, šeimos sudėtis gali kisti gimstant, mirštant ar išsiskiriant šeimos nariams. Kai kalbame apie sistemos kitimą laike, tai vartojame sąvoką elgsena. Jeigu sistemos elgsena atitinka kažkokus žinomus bruožus, tai sakome, kad sistema yra tam tikro elgsenos tipo. Ši savoka tinka ir žmogaus arba gyvūno elgsenai aprašyti.

Jau minėjome, kad sistemos priklausymas statinės ar dinaminės tipui priklauso nuo laiko intervalo, kuriame yra nagrinėjami mus dominantys kintamieji. Laiko intervalas gali būti savaitė, mėnuo, metai. Kintamasis yra besikeičiantis sistemos dydis, pavyzdžiui, moksleivių skaičius klasėje, pinigų kiekis sąskaitoje, vandens lygis vonioje ir t.t.

 
   

Mokyklos klasė gali būti statinė sistema, jeigu nagrinėjamasis kintamasis yra moksleiviai ir laiko intervalas yra 10 mėnesių. Tačiau sistema gali būti labiau dinamiška, jeigu laiko intervalą ištęsime iki 10 metų. Kita vertus, galima tikėtis, kad sistema taps dinamiška ir tada, kai vietoje moksleivių skaičiaus nagrinėsime kintamąjį “įgytų žinių kiekis”, o laiko intervalą sutrumpinsime iki vienos valandos.

Šiame skyriuje mes nagrinėsime dinamines sistemas. Žemiau esantis laiko grafikas leidžia stebėti sistemos elemento kitimą laike. Kaip įprasta, laikas yra žymimas x ašyje, tuo tarpu kintamojo reikšmės yra parodytos y ašyje.

5.1 Pav. Grafikas, rodantis pasaulio gyventojų skaičiaus kitimą per pastaruosius 100 metų.

 
   

 

5.2 užduotis

    1. Koks yra skirtumas tarp statinės ir dinaminės sistemos?
    2. Kurių iš žemiau išvardintų sistemų yra statinė, o kuri - dinaminė, ir kodėl: kalėdinių eglučių pardavimas Lietuvoje; daugybos lentelė, Seimo sudėtis; laipsnių sistema Lietuvos kariuomenėje; sąveika tarp plėšrūno ir jo aukos gyvūnijos pasaulyje.
    3. Naudodamiesi 5.1 paveikslėlyje pavaizduotu grafiku nustatykite, kokiais apytiksliai metais Žemės gyventojų skaičius pasiekė 4 milijardus?
    4. Kurios iš sistemų, kurias jūs suradote 5.1 užduotyje, yra dinaminės?
    5. Pateikite bent po vieną surastų sistemų kintamąjį.
    6. Kokį laiko intervalą jūs turėtumėte pasirinkti, kad nurodytieji kintamieji galėtų keistis?
    7. Nubraižykite kiekvieno iš kintamųjų kitimo grafiką.

 

 

SISTEMOS STRUKTŪRA: TALPOS IR SRAUTAI  
   

Norint sudaryti sistemos modelį, dabar mes naudosime “statybinius blokus”, kurie vadinasi talpomis ir srautais. Talpa yra sistemos elementas, kuris išlieka pastovus iki tol, kol jo nepakeičia įeinantis ar išeinantis srautas. Srautas aprašo medžiagos arba informacijos judėjimą tarp talpų. Srautai ir talpos yra tarpusavyje sujungiami tam tikru būdu ir sudaro modeliuojamos sistemos struktūrą. Galima laikyti, kad kiekviena sistema turi struktūrą, kuri nusako sistemos elgseną laike.

 

 

 

Nagrinėkime pavyzdį ir tarkime, kad į vonią yra leidžiamas vanduo. Pradžioje reikia atsukti vandens čiaupą ir nustatyti tinkamą vandens temperatūrą. Kai tik jūs surandate tokią temperatūrą, tuoj užkemšate vonios skylę ir leidžiate vandens srovei pripildyti vonią vandeniu taip, kad ir jums dar liktų vietos. Tada čiaupą užsukate.

Toliau pabandysime aprašyti šį vandens leidimo į vonią procesą naudodami srautų ir talpų diagramą (prisiminkite, kad anksčiau sudarinėjome priežastinių ryšių diagramas). Žemiau esančiame paveikslėlyje matome svarbiausius tokių diagramų simbolius:

Mūsų nagrinėjamas vonios modelis susideda iš dviejų kintamųjų - talpos (tai vandens kiekis vonioje) ir srauto (tai vandens srovė, bėganti iš čiaupo).

Sujungus srautą su talpa, sudaroma struktūra, kuri parodo, kas atsitinka vandeniui pripildant vonią. Tuo tarpu, kai talpa aprašo sistemos būseną (vandens kiekį vonioje), srautas aprašo būsenos kitimą (kiek vandens per laiko vienetą įteka į vonią).

Tačiau nesunku pastebėti, kad šiame realios sistemos modelyje kažko trūksta. Realiame gyvenime bet koks valdymas yra vykdomas gavus informaciją apie vandens kiekį vonioje per regos pojūčius. Ši informacija yra naudojama priimant sprendimą, ar leisti vandeniui bėgti toliau, ar jau užsukti čiaupą. Jei

tokia informacija nėra gaunama (pavyzdžiui, užgeso šviesa), tai vandens kiekis vonioje negali būti kontroliuojamas. Šiame modelyje informacija apie talpos būseną patenka į srautą panaudojus specialią jungtį, kaip tai matyti paveikslėlyje žemiau

Srauto kintamasis visada “žino” talpos kintamojo reikšmę ir panaudoją ją savo reikšmei pakeisti. Tam gali būti pritaikyta kad ir tokia taisyklė: Jei vonioje yra daugiau kaip 30 litrų vandens, čiaupą reikia užsukti; Priešingu atveju vanduo gali bėgti. Kitas pavyzdys, kuriame naudojamas panašus principas, tra tualeto vandens bakelis. Tačiau jame čiaupas (kuris kontroliuoja vandens kiekį bakelyje) yra pakeistas specialiu plūduro mechanizmu, sustabdančiu vandens bėgimą.

 

 
 
   

 

5.3 užduotys.

  1. Pateikite sąvokos struktūra apibrėžimą.
  2. Kokie yra du pagrindiniai struktūros “statybiniai blokai”?
  3. Koks yra skirtumas tarp šių dviejų blokų?
  4. Kaip informacija apie talpos būseną patenka į srautą dinaminiame modelyje?
  5. Pabandykite nuleisti tualete vandenį ir stebėkite, kas vyksta vandens bakelyje.
  6. Nubraižykite grafiką, kuriame pavaizduokite vandens kiekio kitimą bakelyje.
  7. Nubraižykite priežastinć diagramą, kurioje parodykite vandens kiekio bakelyje ir vandens srauto stiprumo sąryšį.
  8. Kas atsitiktu su sistema, jei prie plūduro vandens bakelyje pririštumėte sunkų akmenį? (Nebandykite atlikti šį eksperimentą namuose. Taip jūs galite sudaryti daug problemų savo kaimynams, gyvenantiems žemiau.)

 

 

SISTEMOS ELGSENOS IMITAVIMAS  
   

Norint modelį “atgaivinti” ir pažiūrėti, kaip jis elgiasi, juo reikia atlikti imitavimą. Modelio sudarymo tikslas yra struktūros sukūrimas, t.y. toks srautų ir talpų sujungimas, kuris leidžia atkartoti realios sistemos, kurią modeliuojame, elgseną. Taigi modelis imiotuoja realią sistemą, jos elgseną. Sudarius tokį modelį galima su juo (o ne su realia sistema) atlikti įvairius eksperimentus ir sužinoti, kaip reali sistema funkcionuoja.

Imituojamas modelis turi turėti tikslų kiekvieno jį sudarančio kintamojo kitimo aprašymą. Vieno kintamojo pokytis gali būti įtakotas tiek laiko, tiek ir kitų kintamųjų. Pačioje pradžioje yra apskaičiuojamos kiekvieno kintamojo pradinės reikšmės. Tada laikas yra paslenkamas per vieną žingsnelį ir vėl skaičiuojamos naujos kintamųjų reikšmės. Pavyzdžiui, nagrinėtame vonios modelyje galima rasti kintamųjų reikšmes praėjus vienai minutei. Tam reikia prie pradinio vandens kiekio pridėti per minutę į vonią įtekėjusio vandens kiekį.Todėl kiekvieną minutę galima apskaičiuoti vandens kiekį pagal tokią formulę:

Vandens kiekis (dabar)=Vandens kiekis (prieš minutę) + Vandens srautas (per praėjusią minutę)

Imitavimo procesą galima tęsti toliau žingsnis po žingsnio perskaičiuojant naujas kintamųjų reikšmes kol bus pasiektas galutinis mus dominančio laiko intervalo taškas. Imitavimą galima atlikti tiek skaičiuokliu, tiek ir kompiuteriu. Jei jūs pasirinkote kompiuterį, tai galite pasinaudoti imitavimo paketu. Tokių imitavimo paketų yra įvairių, o mes naudojamės vienu iš populiariausių Powersim paketu.

Kad kompiuteris galėtų suprasti sudarytą modelį, visų pirma reikia pasinaudojant Powersim priemonėmis nubraižyti modelio talpų ir srautų diagramą. Po to apibrėžiamas kiekvienas diagramos kintamasis arba priskiriant jam konkrečią reikšmę, arba aprašant jį matematine formule. Toks apibrėžimas kompiuteriui nurodo, kokia yra kintamojo pradinė reikšmė (jei tai yra talpos kintamasis), arba koks talpos pasikeitimo dydis per laiko vienetą (pavyzdžiui, kiek litrų vandens pratekės pro čiaupą per vieną minutę).

Mūsų pavyzdyje nurodykime pradinę vonios reikšmę esant lygią nuliui. Paprastai tariant, mes pradedame nuo tuščios vonios, o tai galima aprašyti imitavimo kalboje kaip

Vandens kiekis (dabar)= 0

Tarkime, kad vandens kiekis, ištekantis iš čiaupo, yra 2 litrai per minutę iki tol, kol vandens vonioje kiekis pasieks 20 litrų; kitu atveju vandens srautas bus lygus nuliui. Tai galima aprašyti tokiu būdu:

Čiaupas = IF(Vandens kiekis<20, 2,0)

Taisyklė, parašyta aukščiau, gali būti perskaityta dvejopai - priklausomai nuo to, ar sąlyga yra patenkinta, ar ne. Jei ji yra patenkinta, tai vonioje yra mažiau nei 20 litrų vandens; todėl vanduo į vonią turi bgėgti 2 litrai per minutę greičiu. Jei salyga nepatenkinta, tai vonioje yra daugiau nei 20 litrų vandens; todėl vandens srautas į vonią turi būti lygus 0 litrų per minutę.

Kadangi čiaupas su vonia yra susietas srautu, kiekviename imitavimo žingsnyje prie jau esančio vandens kiekio bus pridedamas srauto dydis. Šis procesas gali būti išreikštas tokia formule, kuri yra kartojama kiekvienu nauju lako momentu:

Vandens kiekis(dabar)=Vandens kiekis(prieš minutę) + Srautas (nuo praėjusio iki dabar)

Tokiu būdu kompiuteriui yra pateikta visa informacija, reikalinga relios sistemos imitavimui. Tarkime, kad mes norime pradėti skaičiavimus nuo 0 minutės iki 12 minutės. Imitavimo paketas pateiks mums tokią dviejų kintamųjų laiko eilutės lentelę

Minutė

Vonia

Čiaupas

0

0.00

2.00

1

2.00

2.00

2

4.00

2.00

3

5.00

2.00

4

8.00

2.00

5

10.00

2.00

6

12.00

2.00

7

14.00

2.00

8

15.00

2.00

9

18.00

2.00

10

20.00

2.00

11

20.00

2.00

12

20.00

2.00

 
   

 

5.4 užduotis

  1. Naudodami Powersim imitavimo paketą, nubraižykite vonios modelio talpų ir srautų diagramą bei apibrėžkite kintamuosius.
  2. Pasirinkite pradinį laiką 0 ir atlikite skaičiavimus 12 laiko vienetų su žingsniu 1.
  3. Sudarykite lentelę, kurioje matytųsi kintamieji VANDENS KIEKIS ir SRAUTAS.
  4. Atlikite skaičiavimus ir gaukite tuos pačius rezultatus, kaip parodyti lentelėje aukščiau.
  5. Įsivaizduokite, kad vonios skylė yra atkimšta ir kad vanduo pastoviai išteka. Nubraižykite naują talpų ir srautų diagramą, kurioje būtų pavaizduotas naujas kintamasis “SKYLĖ”. Apibrėžkite šį kintamąjį žinodami, jog 10% vonioje esančio vandens ištekės kiekvieną minutę. Kaip kintamasis VANDENS KIEKIS ir kintamasis SKYLĖ veiks vienas kitą?
  6. Kiek laiko užtruks, kol vonioje pribėgs 19 litrų vandens? Parašykite, ką jūs apie tai galvojate ir kodėl taip galvojate.
  7. Padidinkite imitavimo trukmę iki 30 minučių ir atlikite naujus skaičiavimus. Kaip jūsų prielaidos sutampa su skaičiavimo rezultatais? Jei jūsų spėjimas buvo klaidingas, tai kodėl?

 

 
   

Kaip matėme, talpa nusako sistemos būseną (anksčiau nagrinėtame pavyzdyje - vandens kiekį vonioje) kiekvienu laiko momentu ir atlieka kaupimo funkciją, srautas gi aprašo tos būsenos kitimo greitį - t.y. kiek vandens per laiko vienetą įteka į vonią (įtekėjimo greitį) arba išteka iš jos (ištekėjimo greitį). Talpos matuojamos vienetais (automobiliai stovėjimo aikštelėje, susirgusių gripu žmonių skaičius, pinigų suma sąskaitoje ir t.t.), srautai matuojami vienetais per laiko vienetą (automobilių, atvykusių į stovėjimo aikštelę per 15 minučių, mokinių, susirgusių gripu per dieną, pinigų, priaugusių sąskaitoje per vienerius mets). Visada, kai tik yra talpa, visada turi būti ir srautas, kuris keičia talpą. Ir atvirkščiai - srautų buvimas visada reiškia, kad kažkur turi būti ir talpos.

 
   

 

5.5 užduotis: Arbatos puodelio aušimas

Panagrinėkime paprastą sistemą, susidedančią iš kambaryje pastatyto puodelio su karšta arbata. Arbata, būdama kambario temperatūroje, aušta. Į pagalbą galime pasitelkti Niutono dėsnį apie auštančius kūnus. Klasikinio temperatūros kitimo dėsnio pilnai pakaks. Pagal jį, arbatos aušimo greitis turėtų būti tiesiogiai proporcingas temperatūrų skirtumui tarp kambario temperatūros ir pačios arbatos temperatūros.

Fizikoje šį sąryšį galėtume užrašyti formule:

Aušimo greitis = Aušimo konstanta * (Kambario temperatūra - Arbatos temperatūra)

Po aušimo konstanta slepiasi tokie veiksniai, kaip oro cirkuliavimas kambaryje, arbatos puodelio šiluminis laidumas ir panašiai. Kadangi nagrinėjame karštos arbatos aušimą, o ne ledinės arbatos tirpimą, tai temperatūrų skirtumas bus neigiamas. Aušimo greitis - tai arbatos temperatūros keitimosi greitis. Paprastumo dėlei nenagrinėkimejame šilumos išsiskyrimo džauliais ir kambario įšilimo nepaisome.

    1. Sudarykite šios sistemos priežastinę diagramą, sujungdami į grandinę dydžius AUŠIMO GREITIS, KAMBARIO TEMPERATŪRA ir ARBATOS TEMPERATŪRA. Atkreipsime dėmesį, kad arbatos temperatūrai krentant keičiasi ir arbatos aušimo greitis - arbatos temperatūrai artinantis prie kambario temperatūros aušimo greitis artės į nulį.
    2. Sudarykite talpų ir srautų diagramą ir atlikite įvairius eksperimentus su šiuo modeliu.