5. GRAFINIS INTEGRAVIMAS

 


VIRŠUS
Kalbėdami apie sistmų dinamikos modeliuose naudojamus kintamuosius, mes išskyrėme du pagrindinius kintamųjų tipus – tai talpos ir srautai. Talpos simbolizuoja kaupimosi, akumuliavimosi veiksmą. Galvojant apie Talpas visuomet paranku įsivaizduoti indą su vandeniu ar kokia kita medžiaga. Į indą įtekantis ir iš indo ištekantis srautai keičia vandens (medžiagos) kiekį inde. Vandens kiekį matuosime tūrio vienetais, šiuo atveju – litrais. Stebėdami sistemą, laiką matuosime minutėmis, o vandens srauto stiprumą litrais per minutę.  
   

 

Pasinaudosime anksčiau turėtu vonios pavyzdžiu. Vandens kiekį, besikaupiantį vonioje, vaizduosime talpos simboliu, o įtekantį ir ištekantį vandenį – srauto simboliu. Šią sistemą galime pavaizduoti paprasta talpų ir srautų diagrama

 

 
   

Taigi talpos kaupia į juos įtekančius srautus. Tuo pačiu keičiasi talpos būseną apibūdinanti skaitinė vertė. Mūsų nagrinėjamame pavyzdyje talpos kintamojo skaitinė vertė rodo vandens tūrį inde. Į talpą įtekantis srautas didina talpoje esančio vandens tūrį. Tuo tarpu iš talpos ištekantis srautas vandens tūrį vonioje mažina.

Atidžiau panagrinėkime šią siatemą. Atsukus vandens čiaupą, vanduo iš čiaupo ima tekėti į vonią. Tarkime, kad vandens nutekėjimo ertmė, esanti vonios dugne, užkimšta ir vanduo iš vonios ištekėti negali (na, nebent vonia persipildytų ir vanduo imtų lietis per kraštus). Tarkime, kad atsukus vandens čiaupą vanduo teka pastovia, nekintančio stiprumo srove.

 
   

Šią sistemą, nepaisydami ištekančio srauto (mūsų nagrinėjamu atveju pastovaus ir lygaus 0 litrų per minutę), supaprastintai galime pavaizduoti tokia talpų ir srautų diagrama:

Ar galime nuspėti tokios sistemos elgseną? Ar galime iš anksto pasakyti, kaip kis vandens tūris vonioje laikui bėgant?

Iš patyrimo žinome, kad atsukus vandens čiaupą ir palikus vandenį tekėti ketvirtis vonios prisipildys per, tarkim, penkias minutes. Tada pusei vonios pripildyti prireiks dešimties minučių, trims ketvirčiams – penkiolikos, o norint, kad vonia prisipildytų sklidinai, teks palaukti net dvidešimt minučių.

Toksai kaupiklio elgsenos aprašymas, kokį tik ką atlikome, vadinamas srautų integravimu arba paprasčiausiai – integravimu. Atliekant integravimo veiksmą, labai patogu į pagalbą pasitelkti grafikus, todėl ir pats veiksmas labai dažnai vadinamas grafiniu integravimu.

 
   

Mūsų nagrinėjamame pavyzdyje vandens, tekančio iš čiaupo, srautas buvo pastovus, tai yra vandens srauto stiprumas nekito. Grafiškai įtekačio srauto kitimą laike galėtume pavaizduoti taip:

 
   

Iš grafiko matome, kad srauto stiprumas laikui bėgant nekinta ir yra lygus 5 litrams per minutę. Kintamieji, kurių sistema negali įtakoti, vadinami nepriklausomais (arba išoriniais). Mūsų nagrinėjamu atveju, įtekantis vandens srautas nepriklauso nuo to, kiek vonioje yra vandens – tai nepriklausomas srauto kintamasis.

Vanduo, tekantis iš čiaupo, kaupiasi vonioje (prisiminkime, kad vandens nutekėjimo ertmė užkimšta ir vanduo iš vonios ištekėti negali). Tarkime, kad prieš pradedant šį paprastą eksperimentą vonia yra tuščia, netgi sausa. Joje pradiniu laiko momentu yra 0 litrų vandens. Pagalvokime, kaip gi kis vandens kiekis vonioje laikui bėgant po to, kai atsuksime vandens čiaupą?

 
   

Tarkime, kad per pirmąją minutę į vonią iš čiaupo įteka 5 litrai vandens. Susumavus gausime, kad praėjus vienai minutei nuo to momento, kai buvo atsuktas čiaupas, vonioje bus:

0 litrų + 5 litrai = 5 litrai

vandens. Sumuojant prie vonioje esančio vandens kiekio (0 litrų, nes vonia tuščia) buvo pridėtas per pirmąją minutę įtekejusio vandens kiekis, t.y. 5 litrai vandens.

Antrąją minutę į vonią įteka dar 5 litrai vandens, juk srauto stiprumas pastovus. Vonioje esantis vandens kiekis pasipildys:

5 litrai + 5 litrai = 10 litrų

Per trečiąją minutę įtekančio vandens srautas nepakis ir į vonią pateks dar 5 litrai vandens. Todėl prabėgus trejoms minutėms, vonioje bus:

10 litrų + 5 litrai = 15 litrų

vandens. Taip galėtume ilgai tęsti, – tol, kol vandens čiaupas atsuktas ir vanduo teka į vonią. Labai patogu pasinaudoti grafiku:

 
   

Pasinaudoję šiuo grafiku galime pasakyti, kiek vandens bus vonioje tuo ar kitu laiko momentu. Pavyzdžiui, prabėgus dešimčiai minučių nuo to momento, kai atsukome vandens čiaupą, vonioje bus 50 litrų vandens. Prabėgus dar dešimčiai minučių (iš viso dvidešimt minučių) vonioje bus 100 litrų vandens.

 
   

Norėtume atkreipti dėmeį į talpos grafiko savybę. Grafiko pasvirimo koeficientas yra lygus srauto skaitmeninei reikšmei. Kaip jau pastebėjome, vandens kiekis per dešimt minučių pasikeitė 50-čia litrų.

 
   

Pasvirimo koeficientas = 50 litrų/10 min = 5 litrai/min.

Svarbu tai, kad talpos grafiko pasvirimo koeficientas yra lygus į vonią įtekančio vandens srauto stiprumui, tai yra 5 litrai per minutę.

Vandens kiekį vonioje tam tikru laiko momentu galime apskaičiuoti pasinaudodami įtekančiojo srauto grafiku. Srauto grafiku apribotas plotas yra lygus talpos skaitinei reikšmei.

 
   

Pavyzdžiui, žinodami, kad per pirmąsias penkias minutes įtekančio vandens srautas nekito ir buvo lygus 5 litrai per minutę. Nesunkiai rasime srauto grafiku (žr. žemiau pateiktą grafiką) apribotos figūros plotą. Užštrichuotos figūros plotas savo skaitine reikšme lygus vandens kiekio pokyčiui vonioje prabėgus penkioms minutėms.

Vandens kiekio pokytis (per 5 min) = 5 min * ( 5 litrai / min) = 25 litrai,

kur

Vandens kiekio pokytis (per 5 min) – žymi vandens kiekio pokytį per penkias minutes nuo momento, kai buvo atsuktas vandens čiaupas.

 

 
   

Atkreipkite dėmesį į aritmetinius veiksmus su matavimo vienetais. Atlikę skaičiavimus gauname korektiškus matavimo vienetus – vandens kiekis per penkias minutes pakito 25 litrais.

 
   

Vandens kiekis vonioje, prabėgus penkioms minutėms, bus lygus:

Vanduo vonioje (t=5 min) = Vanduo vonioje (t=0 min) + Vandens kiekio pokytis (per 5 min),

kur

Vanduo vonioje (t=5 min) žymi vandens kiekį vonioje prabėgus penkioms minutėms nuo momento, kai buvo atsuktas vandens čiaupas;

Vanduo vonioje (t=0 min) žymi vandens kiekį vonioje pradiniu laiko momentu, tai yra prieš atsukant vandens čiaupą;

Vandens kiekio pokytis (per 5 min) žymi vandens kiekio pokytį per penkias minutes nuo momento, kai buvo atsuktas vandens čiaupas.

 
   

Taigi, prabėgus penkioms minutėms vonioje bus:

Vanduo vonioje (t=5 min) = 0 litrų + 25 litrai = 25 litrai

vandens. Skaičiavimo teisingumą galime pasitikrinti žvilgtelėję į “Vanduo Vonioje” grafiką.

 
   

Iki šiol nagrinėjome konkretų pavyzdį – vonią ir į ją įtekantį vandens srautą. Bendru atveju kintamuosius (talpą ir į jį įtekantį srautą) sutrumpintai galime pažymėti taip:

S1 – įtekantis srautas;

K – talpa

Tuomet talpų ir srautų diagrama atrodys taip:

 
   

Bendru atveju

,

kur

talpa laiko momentu t;

talpa pradiniu laiko momentu;

talpos skaitinės vertės pokytis laikotarpiu nuo laiko momento t0 iki t.